Множество

Тут внезапно всплыло, что у множества действительных чисел R, на которое я так опрометчиво опирался при определении призрачных, есть очень недальновидный изъян, в виде того, что там коммутативность умножения кто-то когда-то сгоряча в аксиомы закинул, от чего потом и получилось, что умножение на 0 стало давать 0.

Так что пришлось определить своё множество чисел с преферансом и куртизанками, на которых работает призрачная алгебра. Я назвал его J или ямайкамурровы числа.

Непустое множество J называется множеством ямайкамурровых чисел, если на нём заданы операции сложения (+: J×J→J), умножения (*: J×J→J), отказа (∅: J×→J), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. ∀a,b∈J: a+b=b+a.

2. ∀a,b∈J: (a+b)+c=a+(b+c).

3. ∃0∈J ∀a∈J: a+0=a.

4. ∀a∈J ∃(−a)∈J: a+(−a)=0

5. ∃1∈J ∀a∈J: a*1=a

6. ∀a∈J\{0}: 0*a=0

7. ∀a,b∈J\{0}: a*b=b*a

8. ∀a∈J: a∅=0

9. ∀a∈J b,c∈J∖{0}: (a*b)*c=a*(b*c)

10. ∀a∈J∖{0} ∃(1/a)∈J: a*1/a=1

11. ∀a,b∈J c∈J∖{0}: (a+b)*c=a*c+b*c

12. ∀a,b∈J: a⩽b ∨ b⩽a

13. ∀a,b∈J: (a⩽b ∧ b⩽a)⇒a=b

14. ∀a,b,c∈J: (a⩽b ∧ b⩽c)⇒a⩽c

15. ∀a,b,c∈J: (a⩽b⇒a+c⩽b+c)

16. ∀a,b,c∈J, c>0: (a⩽b⇒a*c⩽b*c)

17. Пусть A и B такие непустые подмножества J, что

    ∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈J ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.

Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.

Вообще-то это по большей части копия аксиоматики действительных чисел - вся разница выделена жирным шрифтом. Имеем 2 полностью новые аксиомы и 4 старые, но с изменёнными условиями.

Аксиома 6 определяет умножение 0 на любое не равное 0 число (не наоборот).

Аксиома 8 определяет унарную операцию отказа, на тот случай, если вам надо обнулить имеющуюся информацию.

Можно заметить, что в ямайкамурровых числах не определено ни деление на 0, ни умножение на 0.

B тут в дело врывается призрачная алгебра:

Непустое множество G называется множеством призрачных чисел, если на нём заданы операции сложения (+: G×G→G), умножения (*: G×G→G), отказа (∅: G×→G), и отношения порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. ∀a∈J 0∈J ∃g(0)a∈G: a=g(0)a

2. ∀a∈J 0, -1∈J: a*0=g(-1)a

3. ∀a∈J 0,1∈J ∃(1/0)∈G: a*1/0=g(1)a

4. ∀a,b,c∈J: g(a)g(b)с=g(a+b)c

5. ∀a,b,c∈J: g(a)b+g(a)c=g(a)(b+c)

6. ∀a,b,c,d∈J: g(a)b*g(c)d=g(a+c)(b*d)

7. ∀a,b,c,d∈J: g(a)b*1/g(c)d=g(a-c)(b*1/d)

8. ∀a∈G: a∅=0

Ну, вроде бы справился! Хотя проверять тут ещё и перепроверять.

Не очень уверен насчёт того, верно ли записал аксиому 3. Но суть её такова, что при делении числа на 0 получается призрак первого порядка со значением этого числа.

В общем, кто шарит, вы не стесняйтесь, подтягивайтесь.

Всем привет! Сегодня у нас на хирургическом столе вот такое математическое выражение:

Действительно ли это равенство? Как думаете? (пишите в комментариях, а ниже разберем что это).

Сама идея данного поста навеяна мне неким обсуждением в интернете (ссылка на него будет ниже). Давайте по порядку, немного определений:

Математическое множество - набор, совоку́пность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элеме́нтов этого множества

Подмножество - множество А, полностью входящее во множество В.

Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента. При этом пустое множество является подмножеством любого множества (даже самого себя)

И вот, вооружившись такими определениями, давайте, разберëм выражение.

Правая часть

Здесь - произведение элементов некоторого множества, но само множество задано, как пустое (i должно только возрастать до числа, указанного над символом "П", которое является мерой общего количества множителей, но у нас это значение задано меньшим, чем первое порядковое). Таким образом, множество не содержит ни одного элемента, это произведение элементов пустого множества (сам способ задания пустого множества именно так я понял совершенно случайно, когда работал с формулой, в которой количество элементов было n - m, и иногда выходило m > n).
На всякий случай - привожу ниже страничку из Википедии. Итератор в суммах и в произведениях не может уменьшаться, из этого следует, что верхняя граница не может быть меньше нижней ("инкременентируется" - увеличивается)

- возведение в степень

В самом деле, число С показывает, сколько раз мы должны умножить В само на себя. И, если С=0, то любое число, возведëнное в нулевую степень, равно 1.

В^3 = B*B*B
В^0 = 1

Так, произведение элементов пустого множества равно 1

- факториал

Перед вами формула из комбинаторики - размещение k элементов из множества n. Если n=k (то есть мы заберем все элементы из множества), то количество размещений равно n! (попросту все возможные перестановки n элементов). Очевидно, что факториал разности в знаменателе нашей дроби 0! равен 1.
Факториал обозначает, что все натуральные числа от 1 до обозначенного нужно перемножить. Например:
3! = 1*2*3
7! = 1*2*3*4*5*6*7
В данном случае мы определяем некоторые натуральные числа для перемножения, их множество. А если множество пусто (как может получиться в формуле размещения), то такое произведение элементов пустого (не содержащего ничего) множества равно 1.

Левая часть

Здесь мы видим сумму элементов некоторого множества, пустого, задано оно, как и в правой части. Немного математически пофилосовствуем чему может быть равна такая сумма:

- операция умножения
Отлично показывает нам, чему равна сумма элементов пустого множества, давайте посмотрим:
A x 5 = A + A + A + A + A
Умножая число на другое число, мы производим операцию сложения этого числа (А) необходимое количество раз (то есть формируем конечное множество, в котором все элементы одинаковы, если нет дробей).
Но если во множестве, состоящем из А, нет ни одного элемента (мы на ноль умножили) - тогда наша сумма будет равна 0.
Мне прямо понравилось, как об этом написано здесь.

Действительно, ведь пустое множество это, во-первых, ничто, а во-вторых - то, что входит во все остальные множества, как полмножество. Тогда, получается, складывая элементы множества, например, простых чисел (2+3+5+7+...), мы учитываем и пустое множество с его элементами, которое не должно влиять на общую сумму (как метко выразились, быть "нейтральным"). То же верно и для умножения, 1 не влияет на общее произведение.
В итоге, получается, что тождество верно. И в левой части, и в правой мы получаем 0! = 1!

Р.S. Ссылка на то самое обсуждение: https://dxdy.ru/topic41662.html

P.S.-2 В прошлый раз сработало: Данный пост написан, чтобы немного поломать голову. Люди с особой чувствительностью, которые заявят об этом в комментариях, будут помещены в особых список чувствительных людей после моего ответного сообщения "Ваше мнение итить-колотить как важно для меня".