Так случилось, что я обучаю студентов алгебре. И не редко, когда слышу вопрос "а зачем это нужно?" В данном посте будет приведен один простой пример, как линейная алгебра может использоваться передачи данных.
Допустим, Альберт передать Бенедикту сообщение, в котором будет или 0, или 1. Для этого он может передавать несколько раз символы 0 или 1. Но с некоторой вероятностью p, при передаче символ меняется на противоположный. То есть в канале передачи данных есть шумы. Логично считать, что p меньше половины, иначе просто будем передавать сразу 1 вместо 0.
Если мы хотим передавать только один символ, то тут проще послать то, что мы хотим. Вероятность ошибки будет p.
Если мы хотим повысить шансы того, что нас поймут, нужно посылать уже 2 символа. Но как кодировать сообщение? Если просто дублировать, например, для 0 посылать 00, для 1 посылать 11 не понять что делать с сообщениями 01 и 10, как их интерпретировать. Просто в силу симметрии они могут обозначать и то, и другое.
Тогда пойдем на хитрость, для 0 пошлем 00, а для 1 уже 01. Тогда если к нам приходит что-то из этого, то понятно, что скорей всего ошибки не было. Если придет 10, то с вероятностью p ошибка одна и это было 00, вероятность, что это было 01, то есть произошло 2 ошибки, уже p^2, то есть меньше. Аналогично, 11 мы будем интерпретировать как 1 с одной ошибкой (это тоже более вероятное событие). Таким образом мы можем увеличить вероятность расшифровки.
Аналогичное можно проделать и для трех, четырех и прочее символов. И тут как раз и появляется линейная алгебра. Ведь все сообщение это вектор, множество вариантов - это векторное пространство. При этом для нашего полученного вектора мы выбираем наиболее близкий вектор, которому что-то соответствует (метрика и норма такая длинна вектора это количество ненулевых элементов, а расстояние, соответственно, количество не совпадающих позиций). Это не единственный способ, возможно, присутствующие тут технари расскажут ещё вариации. Но это, как мне кажется, самый простой, в том числе и для понимания.
На этом пока все.
