Всем привет)
Сегодня конспект о немецком мыслителе, целью которого было понимание устройства Вселенной.
Научная карьера Римана длилась около десяти лет, ему удалось оставить значительный след в четырех областях математики - топологии, дифференциальной геометрии, анализе (действительной и комплексной переменных) и арифметике. Большой и очень важный вклад внес он и в область физики, где его работы заложили основы теории относительности и современной космологии, сегодняшнее понятие пространства - времени берет свое начало в ранних идеях Римана.
Красной нитью сквозь все статьи Бернхарда проходит понятие функции. Для Римана это прежде всего "деформация", которая применяется к поверхности или кривой. Например, если взять сферическую поверхность и деформировать ее до кубической, можно сказать, что к сферической поверхности была применена функция. Количество таких возможных деформаций бесконечно.
Ученый проанализировал функции-деформации, применимые к любой евклидовой плоскости, которую можно назвать комплексной. Одна из сложностей заключалась в том, что наглядно представить деформацию, которая причудливым образом применяется к бесконечной поверхности, очень сложно. Бернхард представил "инструмент", позволивший "визуализировать" многие характеристики функций комплексной переменной, сравнить их и классифицировать.
Риман представил нашу Вселенную как дифференциальное многообразие из трех измерений: шар можно покрыть деформированными круглыми картами, а Вселенную можно заполнить трехмерными шарами, которые выполняли бы роль карт. Так от анализа комплексной переменной он перешел к проблеме кривизны Вселенной.
Существовала и вторая связь от данного анализа, которая изучала информацию о распределении простых чисел и привела к гипотезе, самой важной нерешенной проблеме в этой области математики, названной в честь ученого, о котором я сейчас пишу.
Бернхард ввел понятие, являющееся основополагающим в анализе комплексной переменной, - "римановы поверхности". Напомню, что комплексные числа появились при вычислении квадрата из отрицательного числа.
Ученый утверждал, что функция комплексной переменной на самом деле описывает перенос точек плоскости, т.е. квадрат можно деформировать, как будто он резиновый, пока не получится окружность. Эта тема обширна, глубока и интересна. Именно она со временем привела Эйнштейна к теории относительности.
Прямая имеет одно измерение, потому что положение точки задано одним-единственным числом. Пространство имеет три измерения: точка двигается вперед-назад, вправо-влево,вверх-вниз (т.н. топологическое измерение математического объекта). Есть фрактальное измерение, оно основывается на других понятиях. Обычно говорят, что поверхность шара имеет два измерения. Например, для точки на земной поверхности существуют координаты: широта и долгота. То же самое происходит с тором, лентой Мебиуса или любой другой поверхностью. С помощью "резиновой" деформации мы получаем локальную систему координат, и положение любой точки тора и шара может быть описано всего двумя числами.
Любой мат. объект, который можно полностью покрыть деформированными кругами, имеет два измерения, они называются дифференциальными многообразиями. Этот раздел математики изучает дифференциальная геометрия.
Согласно некоторым теориям, рассматриваемым сегодня, наша Вселенная могла бы быть дифференциальным многообразием девяти или десяти измерений. Риман заявлял о диф. многообразии трех, что это огромная гиперсфера - "трехмерная оболочка" четырехмерного объекта. Сегодня мы знаем, что Вселенная расширяется и некоторые ее области удаляются от нас на скоростях, недостижимых даже в теории. Ученый интересовался глобальной геометрией вселенной, вопросом возможного существования "локальных искривлений" в текстуре пространства. В начале ХХ века эту идею подхватил Альберт Эйнштейн, и она легла в основу теории относительности. Сегодня мы знаем, что материя локально искривляет пространство и что "сила тяготения" - лишь следствие этой кривизны. Эйнштейн ввел четвертое измерение - время. Вселенная - четырехмерное дифференциальное многообразие. Более того, на сегодняшний день теория струн утверждает, что Вселенная - диф. многообразие десяти измерений: одного временного, как в теории относительности, и девяти пространственных.
Пара слов о религии: мыслитель был очень верующим человеком. Духовный аспект в его жизни всегда был выше научного.
Любимой темой, над которой работал ученый, но которая не стала основной, была проблема Дирихле. Число различных функций бесконечно, среди них существует особая группа тригонометрических функций. Самые главные здесь - синус и косинус. Каждая из этих кривых имеет период и амплитуду. Период - это время, которое волна затрачивает на повторение, чтобы снова возвращаться на одну и ту же высоту, амплитуда - расстояние между уровнем спокойной воды и высотой самого высокого пика волны (образно). Эти базовые волны играют центральную роль в проблеме Дирихле, которую решил Риман. Любое периодическое явление - это сумма базовых волн и эта сумма может включать бесконечное число слагаемых. Данная процедура включает в себя вычисление интегралов. Сегодня нахождение интеграла связано с вычислением площади области между горизонтальной осью и графиком функции. Сам символ интеграла - это деформированная латинская буква S, от слова "сумма". Существуют разрывные функции, которые выражают последовательность сигналов, например, радиосвязь или компьютерные томографы. Нужно было определить базовые волны, которые должны были быть разложены в ряд. Бернхард использовал идею последовательных приближений, в сторону увеличения и в сторону уменьшения. Возможностей у интеграла Римана было больше, чем у интеграла Коши, он позволяет найти разложение на ряд Фурье функций со "скачками", обладает смыслом и используется как в физике, так и в инженерном деле.
Ученый также раздумывал о выведении теории, позволившей бы разом объяснить все силы природы, которыми на тот момент считались гравитация, электричество, магнетизм и тепло. Позже Эйнштейн назвал это "проблемой единого поля". Вклад Римана в электродинамику содержал идею близости теории электричества и магнетизма к теории распределения света, и что любая сила, действующая между двумя частицами, должна распространяться с конечной скоростью. Мыслитель отожествляет эту скорость распространения со скоростью света. Этот прогноз был подтвержден Эйнштейном и стал одним из столпов теории относительности. Сегодня известно, что фундаментальных сил природы действительно четыре, но это не те силы, которые подразумевались в середине ХIХ века. Речь идет об электромагнитной силе, тяготения, сильном и слабом ядерном взаимодействии. Проблема одного поля все еще не имеет решения.
Сегодня Бернхард живет в своих работах, в идеях, в проблеме, известной как гипотеза Римана - речь о вопросе раскрытия тайны распределения простых чисел.
Простыми называют все числа, которые делятся только на 1 и сами на себя. Эти "базовые кирпичики" никогда не заканчиваются. Свойство таких чисел, вызывающее интерес, - это их внешне "хаотическое" и "произвольное" поведение. Между простыми числами есть интервалы, другими словами есть пары последовательных простых чисел, сколь угодно удаленных друг от друга.
Гипотеза - математическое утверждение, которое полагается истинным, но которое никто еще не смог ни доказать, ни опровергнуть.
Тут следует написать о пи-функции, ограничусь тем, что упомяну метод приближения количества простых чисел, который использовал Риман.
Эйлером было сформулировано равенство между бесконечной суммой и бесконечным произведением, множители которого содержат все простые числа. Бернхард распространил эту идею на всю комплексную плоскость, так он определил то, что сегодня известно как дзета-функция Римана. Поведение этой функции определено корнями и тесно связано с простыми числами. Нетривиальные корни должны находиться на определенной вертикали. Именно это предположение составляет знаменитую проблему. С помощью компьютера найдено более 150 миллионов нетрив.корней, но доказать, что все они находятся на "правильной" вертикали пока не удалось. За доказательство предложена премия в миллион долларов. В случае ее решения мы получим ключ к пониманию того, как распределяются простые числа)
