Введение
Сегодня я хочу рассказать об одной очень красивой формуле, связывающей дзета-функцию Римана и Гамма-функцию(не пугайтесь я все объясню). Формула выглядит вот так:
Также в процессе своего рассказа я хочу осветить такую тему, как специальные функции и рассказать для чего они нужны.
Специальные функции
1. Мотивация
Часто в задачах математики, физики и других естественных науках нам приходится иметь дело с интегралами, которые не приводятся к стандартным (таким как косинус, экспонента и т.д.). В этом случае весьма полезно знать некоторые "трюки", позволяющие преодолевать такого рода трудности. Одним из таких "трюков" является использование специальных функций.
Первое моё знакомство со специальными функциями произошло во время чтения первого тома Теоретической физики Ландау и Лифшица (Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Т. I. Механика. М.: Физмат-лит, 2021 с. 41):
Как видно последняя подинтегральная функция имеет довольно простой вид, однако, так как этот интеграл не выражается через стандартные, приходится идти на различные ухищрения при его вычислении (я не буду приводить здесь вычисления, кроме объявленного интеграла, однако их можно проделать в качестве упражнения с указаниями в учебнике В. А. Зорича "Математический анализ Часть II" или в Демидовиче, к которому есть китайский решебник).
Также гамма-функция значительно упрощает вычисление таких классических интегралов, как интеграл-Дирихле и интеграл Пуассона:
Последний имеет важное значение в теории вероятностей.
Гамма-функция помогает при взятии многих других естественных интегралов:
1) Обобщение интеграла Дирихле
2) Похожие на тот, что был у Ландау
*Где В -- бета-функция Эйлера, которую можно определить равенством:
2. Забавные свойства гамма-функции
1) Формула понижения
Доказательство проводится интегрированием по частям.
2) Г(1) =Г(2)= 1
Для доказательства Г(1)=1 продифференцируйте exp(-x), а потом проинтегрируйте справа и слева.
Для доказательства Г(2)=Г(1) проинтегрируйте Г(2) по частям.
Сразу следует из (1) и (2).
Доказательство этого и следующих фактов есть к книге Зорича, ссылка на которую есть выше.
Из этой формулы следует очень красивое разложение синуса, как произведения:
Рассмотрим интегралы вида:
Заметим, что мы уже знаем чему равен этот интеграл. Это Г(s)! Значит:
Остается просто просуммировать по n и мы получим что что надо(формально говоря мы должны рассмотреть предел частичных сумм, а потом занести предел под знак интеграла, предварительно проверив, что функция под знаком интеграла--непрерывная).
Просуммируем убывающую геометрическую прогрессию под интегралом и получим нужное равенство.
При s=2 получаем интересное равенство:
Однако, чтобы посчитать этот интеграл гамма-функции недостаточно и требуется более серьезная техника (в частности можно свести этот интеграл к другой специальной функции).
