Математика + Олимпиада

Сегодня у нас простенькая задача, балла на 4 из 10. Условия выглядят следующим образом

Делаем небольшую паузу, пьём кофе, смотрим мем и начинаем решать.

Теперь можно и приступить к разбору.
Давайте разберёмся, какие остатки от деления на три может давать квадрат числа. Произвольное число даёт в остатке от деления на 3 либо 0, либо 1, либо 2. Такие числа соответственно можно записать в виде 3k, 3k+1 и 3k+2. Рассмотрим их квадраты.

Первый квадрат имеет остаток 0, а два оставшихся имеют остаток 1.
Отсюда следует, что x и y не могут одновременно давать остаток и 1 и 2 от деления на 3 ( иначе z имело бы в остатке 2, а это запрещено для квадрата, как мы увидели выше ). Следовательно, одно из этих чисел делится на 3.

Теперь поглядим на остатки от деления на 8. Произвольное число при делении на 8 даёт в остатке либо 0, либо 1, либо 2, либо 3 и тд до 8. Эти числа записываются как 8k, 8k+1, 8k+2, 8k+3 и тд до 8k+7.
Посмотрим на остатки их квадратов.

Так как z^2 не может давать в остатке что-то отличное от этих чисел, то приходим к выводу, что либо левая часть даёт в сумме остаток 1 ( а это значит, что одно из чисел делится на 8), либо оба числа дают в остатке по 4. В первом случае все очевидно, так как какое-то число делится на 3 да еще одно из них на 8. Значит произведение делится на 24 (а на 12 и подавно). Во втором случае, если глянем на табличку, заметим, что оба числа будут делится на 2. Значит их произведение делится на 3 и на 4 ( по 2 от каждого числа). Таким образом xy делится на 12. Задача решена!

В МатОлимп #5 многие жаловались, что задачка была супер детская. Ну хорошо, сегодня задачка с международной олимпиады 2006 года. Не сказать, что задача супер сложная, но у меня она отняла некоторое время. Я бы дал ей 7/10. Вот ее условия.

Итак, надо найти все целочисленные пары (x,y) такие, что выполняется соответствующее уравнение. Дадим немного времени подумать. А пока шутка-минутка!

Ну хорошо, вернёмся к задаче. Очевидно, что икс больше либо равен 0 (иначе игрек не будет целым). Это следует из того, что

Также заметим, что если (x,y) решение, то и (x,-y) решение.
Рассмотрим случаи 0,1,2.
x=0, y=2 (значит x=0, y=-2 тоже решение).
x=1, y - не целое.
x=2, y - не целое.
Будем считать, что x>2.
Рассмотрим случай, когда y четно (y=2k). Тогда

Слева нечетное число, справа четное. Значит решений нет.
Значит y нечетное. Тогда можно написать следующие выражения.

Т.к. у - нечетное, то у-1 и у+1 чётные и они делятся на 2. Более того, это два последовательных четных числа. Значит одно из делится на 4, а другое нет. Но вот какое -непонятно. Левая часть делится на 2^x. Значит то число, Которе делится на 4 ещё должно делится на 2^(x-1) ( одну двойку мы учли на число, делящееся только на 2). Итак

где m -нечетно (m>1). Тогда правая часть нашего уравнения имеет вид

Подставляем ее в уравнение

Учтём, что 2^(x+1)=8*2^(x-2). Тогда последнее выражение приводится к следующему виду

Если выбрать знак минус, то слева будет все г-жа отрицательное выражение,а справа положительное. Значит остаётся только знак минус.
Итак, остался последний шаг! Так как x>3, мы можем написать следующее неравенство.

Решая это неравенство (например, методом интервалов), получаем решение

Теперь вспоминаем, что m целое, большее 1. Но правая граница меньше 4. Значит m=3. Подставляем это значение в наше уравнение и получаем

Значит, x=4. Соответствующий игрек 23 и -23. На этом решения данного уравнения заканчиваются. Задача решена!

Предыдущий пост: МатОлимп #6

Сегодня будет задача посложнее. Она с Московской олимпиады 81 года я бы дал ей оценку 6/10. Сама по себе она не трудная, но нужно додуматься до одного факта. Итак, начнём с условия.

Теперь я дам вам чуток времени вам подумать, чтобы кто-нибудь попытался самостоятельно решить эту задачу. Давайте пока поглядим на мем.

Ну хорошо, думаю, что желающие разобраться в задаче либо решили ее, либо стали рвать на себе волосы. Давайте сначала обратим внимание на то, сколько весят две произвольные гири вместе. Для этого составим соответствующую табличку.

Первая строка и первый столбец - наши гирьки, внутри таблицы их общая масса.так как гирьки в единственном экземпляре для каждой массы, кое где стоит прочерк. И тут нам с глаза бросается один интересный факт! Для каждой пары суммарная масса уникальна и больше не повторяется в таблице. Теперь осталось только довести рассуждение до конца.
Разобьём наши 5 гирь на две пары и одну гирьку. Взвесим полную массу каждой пары. Если масса какой-то пары совпадёт с одним из чисел 2001, 2002,2004,2007, то в этой паре есть гирька с массой 1000г. Тогда взвешиваем произвольную гирю из этой пары. Так мы можем найти гирю в 1000г за 3 взвешивания. Если же массы гирек не дают эти числа, то 1000г это пятая гирька. Задача решена!

Сегодня у нас с вами будет разгрузочная задача. Ее уровень примерно 2/10. Давайте же поглядим на условия.

Для решения воспользуемся известным неравенством средних.

Если у нас есть конечный набор чисел, то их среднее арифметическое больше (либо равно) среднему геометрическому. Но все еще это не похоже на неравенство, которое нужно доказать. Тут нужно проявить сообразительность.

В левой части у нас стоит сумма a+nb= a+b+b+...+b,  где b складывается n раз. Ага, вот оно! Мы еще вдобавок делим на n+1. Таким образом, слева стоит среднее арифметическое набора чисел a,b,b,...,b (b встречается n раз).

Ну тогда слева мы можем сразу признать среднее геометрическое (n раз перемножили b и еще домножили на a). Задача доказана!

Так как у меня уже появились подписчики, то самое время сделать доп. формат постов. Я по образованию физик, поэтому могу популярно объяснить вам вопросы из физики, которые вас интересуют. Оставляйте темы, про которые вы хотите прочесть, в комментариях!