Высшая математика + Занимательная математика

Как гипотезу Пуанкаре (теорему Пуанкаре-Перельмана) можно объяснить с помощью жучка и футбольного мяча? Как выглядит уравнение трёхмерной сферы и чем она схожа с окружающим нас пространством? И много ли людей на планете могут понять это самое доказательство теоремы Пуанкаре-Перельмана?

В этом ролике Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых простым языком объясняет, что такое гипотеза Пуанкаре, в чём она заключается и живём ли мы на поверхности четырёхмерного мяча.

ВКонтакте: https://vk.com/video-190320587_456240035

О простоте и красоте математики. В этой лекции приведены решения некоторых элементарных и не элементарных задач, которые продемонстрируют, что многое в математике достаточно просто и изящно. Лектор надеется, что слушатели поймут, что знать математику и владеть математическим мышлением это не тождественные понятия. Многие люди, обладающие способностями к математике не всегда сами знают об этом.

Об этом и многом другом рассказывает Яков Михайлович Ерусалимский, математик, доктор технических наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ЮФУ.

Ютуб: https://youtu.be/w9yxmXBT-h8

Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор МФТИ, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых рассказывает о весёлых и забавных фактах из жизни великих учёных и старается делать лекцию максимально увлекательной, в том числе для школьников и для людей без специальной математической подготовки.

Видео на YouTube: https://youtu.be/1pCT7gPMZhg

Итак, действующие лица:

1. A - территория, в которую можно отступать. Является источником ресурса.
2. C - Chaos. в данном случае это зомби, которые поглощают все, до чего могут дотянуться, включая территорию A (постепенно заполняя её). В физической модели это энтропия. Обладает бесконечным ресурсом, обладает скоростью, и, допустимо - ускорением.
3. H - Hero. Это главное действующее лицо, принимающее стратегические решения. Обладает скоростью и ускорением больше, чем у C.
4. V - Victim. Это жертва. Аналог героя, но скорость и ускорение ниже, чем у C. Является источником ресурса для любого участника. Цель такая же, как и у H - максимизировать свое существование.

5. E - Enemy. Это враг. Аналог героя, скорость которого ниже чем у H, выше чем у C и V. Цель такая же как у C (уничтожить H и V).

Параметры:

Энергия - у каждого из перечисленных действующих лиц может быть ограниченная или не ограниченная энергия, которая может тратиться как на перемещение (линейное), так и на ускорение.
Скорость - от параметров скорости зависит кто и кого настигает в той или иной стратегии.
Ускорение - от параметра ускорения зависит кто и с какой скоростью набирает или теряет скорость.
Время - параметр с течением которого развертываются те или иные стратегии.

Теперь карта взаимодействий.

Во всех случаях стратегия для героя - максимизировать свое существование, отступая от C в A, покуда A не закончится. При разных параметрах ускорения C и скорости\ускорения H моменты коллапса системы (C настегает H) могут соответствовать моменту C=A, или, если ускорение C отрицательное (скорость снижается), то этот процесс никогда не достанет. Функция в одном случае стремится к нулю, в другом к конечному значению, в третьем к бесконечности.

Дилемма - герой H может взять V к себе, потеряв таким образом скорость. В зависимости от параметров системы это может привести к нескольким сценариям. Если скорость (H+V)/2 > E > C, то такая стратегия приведет к тому, что во всех исходах E проиграет первым (будет настигнут C). Если (H+V)/2<E, то враг настигнет H и V, и игрока ждет проигрыш. Если (H+V)/2 < C, то рано или поздно героя с жервтой настигнут зомби, и тогда если H>C но (H+V)/2<C есть еще два варианта развития событий: C поглотив V получают ускорение > чем у H, в результате чего рано или поздно его настигают. C поглотив V теряют ускорение, в результате чего функция идет к нулю и герой побеждает.

Вторая ветка - H не берет V, и тогда в зависимости от параметров системы следующие ветки:

E настигает V, получает энергию V и скорость E становится больше H, т.е герой проигрывает. Если энергия V снижает скорость E - герой выигрывает.

Одной из стратегий для H, при C > (H+V)/2 > E  и C > E+V > H это взять V, дождаться момента когда С поглотит E, после чего оставить V, и далее двигаться с максимальной возможной скоростью, пока C не настигнет H или не кончится A.

Таким образом подставляя разные параметры для скоростей, энергии и ускорения для A,C,H,V,E мы можем получить различные решения c различными точками баланса и оптимальными стратегиями для каждого из участников.

Добавить "перца" можно сделав систему двумерной или трехмерной, меняя и добавляя различные параметры поведения для всех участников.

P.S Баянометр ругался на картинку

Определение: Сикус - это сумма синуса и косинуса одного угла.

Другими словами сикус угла α - это отношение (a+b)/c. (sic α = (a+b)/c).

Сикусом угла β называется отношение (a+b)/c. (sic β = (a+b)/c).

Стоит отметить, что sic(x)=sic(90°-x).

Вывод сикуса острого угла:

По определению sic(α) = sin(α) + cos(α)

cos(α) = b/c, а sin(α) = a/c

График функции y = sic(x) имеет следующий вид:

Нули функции: 0.75π + πn, где n ∈ Z.

Период функции 2π.

Максимальное значение √2.

Минимальное значение -√2.

Первообразная и производная сикуса:

Разложение в ряд Тейлора

А теперь применение сикуса при решении задач с прямоугольным треугольником!

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C прямой) сумма длин катетов равна 4, а угол CAB равен 30°. Найти длину гипотенузы. (такие задачи очень часто встречались, когда только начинали учить тригонометрию)

Решение (без рисунка!):

Для начала определим величину сикуса 30°

А теперь просто пишем чему равен сикус 30° из этого прямоугольного треугольника (с - длина гипотенузы) и моментально получаем ответ!

Если вам понравилось, то настоятельно рекомендую посмотреть эти посты:

https://pikabu.ru/story/kersinustrigonometricheskaya_funktsi...

https://pikabu.ru/story/tosinus_trigonometricheskaya_funktsi...

Если нашли ошибку или неточность, то пишите об этом в комментариях!

(следующий пост будет про теорему сикусов)