На днях перечитывал учебник по физике 7-го класса Перышкина и в самом начале наткнулся на некоторые строки, которые приводят в замешательство взрослого человека. Не совсем понятно, как школьники в этом должны разобраться, но мы попробуем.
В приведённых ниже рассуждениях приводится скромная попытка объяснить, что такое погрешность измерения и доказательства того, что сама концепция измерения и подсчёт единой погрешности для измерительного прибора является лишь принятой условностью или, как впрочем и вся математика – некой абстракцией.
Например, мы хотим измерить что-то и записать результат измерений в виде числа. Но полученное значение никогда не будет на 100% точным, то есть никогда не будет равно истинному значению. Оно может быть чуть больше или чуть меньше в зависимости от того, какой инструмент для измерения мы используем.
То есть, мы не можем гарантировать то, что напряжение в сети равно точно 220 Вольт, даже если вольтметр показывает число 220.
Обращаем внимание «не может быть больше цены деления».
погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.
Так, если длина шариковой ручки 14 см, а цена деления линейки 1 мм, то погрешность измерения будет равна 0,5 мм, или 0,05 см.
Следовательно, длину ручки можно записать в следующем виде:
Истинное значение длины ручки находится в интервале от 13,95 см до 14,05 см.
При записи величин, с учетом погрешности, следует пользоваться формулой:
где A – измеряемая величина, а – результат измерений, Δa – погрешность измерений.»
Возникает вопрос – почему же в одном случае погрешность не может быть больше цены деления, а в другом случае она равна половине цены деления. Если погрешность равна половине цены деления – зачем писать о том, что она не может быть больше цены деления? Так погрешность равна цене деления или половине цены деления? Будем разбираться.
Вопросами измерений занимается отдельная наука – метрология.
Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.
Обратимся за помощью к этой науке и заглянем в учебное пособие [1]:
«Предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.
предельная погрешность Δm – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться».
В общем, написано тоже самое – что погрешность равна половине цены деления. Поверим им на слово и попробуем разобраться на конкретном примере из учебника по физике.
Сразу сделаем оговорку, что существует множество видов погрешностей – по способу выражения, источнику возникновения, характеру проявления и т.д. Мы сейчас имеем в виду только абсолютную погрешность, то есть отклонение измеряемого значения от истинного.
В упражнении 1 (учебник Перышкина), задание 2 (к параграфу 5) требуется определить погрешность измерения градусника. Рисунок приведён ниже:
Видим, что жидкость в градуснике находится выше отметки 3, но ниже отметки 4:
Сначала определим цену деления такого градусника. Возьмём разность двух ближайших чисел и поделим на количество интервалов между ними.
Если взять числа 1 и 2, то между ними мы видим ещё одну небольшую отметку, которая не обозначена цифрой. Значит между цифрами 1 и 2 на самом деле два интервала.
Цена деления будет равна:
Действительно, если приглядеться – жидкость в градуснике находится почти ровно посередине между цифрами 3 и 4. Между этими цифрами есть отметка. Жидкость находится немного выше этой отметки:
Значит температуру воздуха мы можем определить как:
Похоже на правду. Хотя погодите…
Мы получили погрешность ± 0,5°C. Но цена деления равна 0,5°C.
В нашем случае получилось, что погрешность равна цене деления.
А погрешность должна быть равна половине цене деления…
Значит мы неправильно указали значение и могли бы указать температуру с более высокой точностью?
Действительно, если мы видим, что жидкость находится выше отметки 3,5°C и ниже 4°C, тогда мы можем записать значение ещё точнее:
Мы не знали точное значение измеряемой величины, поэтому взяли середину интервала, в который значение точно попало и добавили погрешность – плюс/минус половина этого известного интервала.
Да и погрешность получилась равной половине цены деления. Какая красота!
Таким образом, мы видели, что жидкость выше отметки 3,5 и ниже 4, поэтому мы записали то, что записали.
В первом случае мы говорим, что значение температуры лежит в пределах от 3°C до 4°C. Во втором случае: от 3,5°C до 4°C.
И в обоих случаях мы правы. Единственная разница лишь в том, что во втором случае мы записали значение с более высокой точностью. То есть с максимальной точностью, которую может позволить себе этот измерительный прибор.
Таким образом, в первом случае мы выбрали округлять значение до целого деления (до 0,5 в этом примере), а во втором случае – до половины деления (до 0,25).
Находим подтверждение наших выводов в другом пособии [2]:
«Интервал округления h может быть различным. Если отсчет снимается с точностью до целого деления, то интервал округления равен цене деления шкалы прибора (дискрету младшего знака индикатора). Если отсчет округляется до половины деления, интервал округления равен половине цены деления и т.д. Максимальная погрешность округления, очевидно, не превышает половины интервала округления т.е. величин h/2»
Сама концепция отметок, «зазубрин» или «чёрточек» на любой шкале прибора подразумевает, что эти отметки достаточно крупные, чётко обозначены, а расстояния между ними достаточно велики, чтобы быть различимы человеческим глазом. Если эти отметки кривые, плохо видны или настолько мелкие, что начинают сливаться – таким инструментом измерения становится невозможно пользоваться.
Намного проще, когда измерительный прибор представляет собой какую-то аппаратуру, подключённую к большому экрану, на котором цифрами отображаются измеряемые значения. Но, это не наш случай.
Итак, мы договорились, что мы выбрали такой градусник, на котором что-то видно и мы можем увидеть – на каком уровне находится жидкость относительно всех чёрточек на измерительной шкале.
Это значит, что мы можем определить – жидкость находится выше определённой отметки, ниже определённой отметки или точно на уровне определённой отметки.
Вот так, всего 3 варианта. Строго говоря, вариантов даже 2:
1) измеряемая величина находится на уровне отметки
2) измеряемая величина не находится на уровне отметки (а значит выше или ниже неё)
Оба варианта представлены на рисунке:
Для второго случая – если уровень жидкости в градуснике выше отметки 3, но ниже 3,5 (как на рисунке):
Если уровень жидкости в градуснике ниже отметки 3, но выше 2,5:
Итак, мы разобрались с вариантом, когда уровень жидкости находится в промежутке между двумя отметками. Алгоритм действий такой:
1) выбираем середину интервала между чёрточками – записываем это как первое число
2) добавляем плюс/минус половину этого интервала
Таким образом мы словно бы говорим: «Да, я вижу, что искомое значение лежит в интервале между вот этими двумя отметками, но точное численное значение я установить не могу».
Как же быть, если уровень жидкости точно совпадает с чёрточкой или отметкой, на которую мы смотрим. На рисунке это вариант 1.
Вот видим мы точно 3,0°C и всё тут. Почему бы не записать:
Можно ответить по-простому и сказать, что погрешность не может быть 0,1 потому что величина погрешности для одного и того же измерительного устройства одинакова при любых измерениях. Нам не важно, на каком уровне оказалась жидкость – запись измерения мы должны сделать, указав определённую погрешность. И эта величина должна быть одинаковой. Разумеется, этот вывод справедлив только, если на всей измерительной шкале градусника расстояние между двумя крайними отметками одинаковое и не становится меньше или больше в какой-либо части измерительной шкалы.
Хотя, фактически, если мы видим первый вариант, когда жидкость находится на отметке 3,0°C:
Мы же даже не можем сказать – уровень жидкости по факту выше или ниже 3,0°C! Почему бы не уменьшить погрешность до 0,24 ?
Фактическое значение ведь явно попадает под этот интервал:
Но, если мы ранее определили погрешность как 0,25 – значит мы и должны использовать это же значение погрешности для любых других измерений.
По мнению автора, это лишь формальное правило, которое позволяет работать с одним и тем же значением погрешности, не усложняя расчёты.
Таким образом, мы приходим к выводу о том, что формальные правила, которые мы устанавливаем при проведении измерений – действительно формальные и не всегда соответствуют фактическим результатам. Но они существенно упрощают нам работу с данными, хорошо работают в остальных областях знаний и позволяют прийти всем нам к каким-то единым стандартам.
[1] Поздышева О. В. Метрология и стандартизация в СПЦС: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (1,49 Мб) / О. В. Поздышева. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
[2] В.Н. Игумнов физические основы микроэлектроники практикум, Йошкар-Ола, 2008
