Я зачем-то прочитал весь пост. Хотел добраться до ошибки, будто у Лобачевского параллельные прямые пересекаются, но автор эту ошибку не допустил.
Почему я сразу со скепсисом отнесся к статье? По второму абзацу:
Когда у нас в пятом классе началась геометрия, нам так объяснили, что такое аксиома: это утверждение, настолько очевидное, что не нуждается в доказательствах. Наверное, пятиклассникам лучше этого не объяснишь, но проблема в том, что и в старших классах больше ничего об аксиомах не рассказывают.
Если автор не учился в экспериментальной школе и если ему не девяносто лет, его геометрия не началась в пятом классе. Да, с 1933 года был учебник для пятиклассников - "Начальные сведения по геометрии" Гурвица-Гангнуса, хотя сомневаюсь, что там упоминались аксиомы. И сомневаюсь, что выпускники физмата МГУ написали в учебниках какую-то ересь. Хотя @Plexator 'у (это автор исходного поста) могло и не понравиться: в их учебнике за 6 класс аксиомы объясняются в физическом, а не математическом духе - но и не так, как сочинил @Plexator.
В любом случае с 1950-х годов в СССР были другие программы. Геометрию изучали по учебникам Киселёва или Никитина, и начиналась она только в 6 классе. Забавно, что у Никитина уже в самом начале курса написано ровно то, что хочет @Plexator:
Позже экспериментировали с другими программами по геометрии: Колмогорова, Атанасяна-Бутузова, Погорелова. Но никогда с 1950-х геометрию не начинали в 5 классе: геометрия начиналась в 6, а после перехода на 11-летнее обучение - в 7 классе.
И там про аксиомы написано всё правильно.
Конечно, элементы геометрии в курсе математики вводились и в ранних классах. Буквально в первом. Там про аксиомы ничего не говорилось.
Выходит, @Plexator плохо запомнил, чему и вообще когда его учили. После такого введения можно было ожидать любой ахинеи, но ничего суперошибочного автор не написал. В целом он говорит разумно, здраво, я с ним согласен.
Но по мелочевке проблемы вылазят. Например:
найдено сразу два пространства, которые описываются геометрией Лобачевского. Более того, эти пространства являются подмножествами евклидова пространства. Это значит, что любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным.
Два пространства? Что имеет в виду автор? Почему два, а не, например, штук около пяти, как в Википедии? С чего автор решил, что то, что "любое утверждение из геометрии Лобачевского можно перевести на язык геометрии Евклида", следует упростить до слов "пространство Лобачевского является подмножеством евклидова", что вообще автор понимает под словом "подмножество"?
Сдаётся мне, автор напутал. Он, наверное, имел в виду, что существует две геометрические системы, являющиеся неевклидовыми в узком смысле слова. Только вот одна из них - не Лобачевского.
Также непонятно, почему автор вообще утверждает, что "любое утверждение из геометрии Лобачевского мы можем "перевести" на язык геометрии Евклида, причём истинное утверждение при таком переводе останется истинным, а ложное - ложным". Есть масса утверждений, эквивалентных пятому постулату, и они, разумеется, в геометрии Лобачевского ложные, например о том, что накрест лежащие углы при параллельных и секущей равны, или что отношение длины окружности к диаметру есть константа, или что сумма углов треугольника равна развёрнутому углу, или что вокруг каждого треугольника можно описать окружность. Ничего этого в геометрии Лобачевского нет, как нет в ней прямоугольников и подобных треугольников.
